Soru:
Dünyanın kütlesi nasıl belirlenir?
Kenshin
2014-04-16 10:12:33 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ders kitabındaki bilgilere göre, Dünya'nın kütlesi yaklaşık 6 × 10 ^ {24} \, \ mathrm {kg} $ civarındadır. Sıradan ölçeklerle Dünya ağırlıklandırılamazken bu sayı nasıl belirlenir?

Beş yanıtlar:
#1
+37
Mr_Green
2014-04-16 10:36:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

İki kütlenin birbirine uyguladığı çekici kuvveti (yerçekimi kuvveti) temel alan Newton'un Yerçekimi Yasasına göre:

$ $ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} $$

Nerede:

  • $ F $ yerçekimi kuvvetidir
  • $ G = 6.67 \ times 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm { kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ bir orantılılık sabitidir
  • $ M $ span> ve $ m $ , kuvvetleri uygulayan iki kütledir
  • $ r $ span > iki kütle merkezi arasındaki mesafedir.

Newton'un ikinci hareket yasasından :

$$ F = ma $$

Nerede:

  • $ F $ bir nesneye uygulanan kuvvettir
  • $ m $ nesnenin kütlesidir
  • $ a $ kuvvetten kaynaklanan ivmesidir.

Her iki denklemi de eşitlemek :

$$ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} = ma $$

$$ \ frac {GM} {r ^ 2} = a $$ ( $ m $ 'ler iptal edildi.)

Şimdi Dünya'nın kütlesi olan $ M $ için çözün.

$$ M = \ frac { ar ^ 2} {G} $$

$ a = 9.8 \ \ mathrm {m} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ , $ r = 6.4 \ times 10 ^ 6 \ \ mathrm {m} $ ve $ G = 6,67 \ times 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ mathrm {kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ .

$$ M = 9.8 \ times (6.4 \ times 10 ^ 6) ^ 2 / (6.67 \ times 10 ^ {- 11}) \ \ mathrm {kg} $$


Dolayısıyla,

$ M = 6.0 \ times 10 ^ {24} \ \ mathrm {kg} $

Mew, yerçekimi yasasının F = MA'dan geliştirildiği, Doğa Felsefesinin Matematiksel İlkeleri başlıklı bilim tarihinin en güzel metinlerinden biri var.
Genel denklemde açıkça belirtmelisiniz r, nesnelerin ağırlık merkezleri arasındaki mesafedir (bir yerçekimi kuvveti, nesne ile dünya arasındaki mesafe 0 olsa bile, dünya yüzeyindeki bir nesneye de etki eder). Ayrıca, bence, kareli üsleri "r2" yerine "r ^ 2" şeklinde ifade etmek belirsizliği ortadan kaldırdığı için daha nettir ("r * r" veya "r * 2" mi?). Bunun dışında iyi bir cevap :-)
Bu cevabın en azından a ve G'yi nasıl belirleyebileceğimizi kabul etmesi gerektiğini hissediyorum.
#2
+34
David Hammen
2014-04-24 17:40:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Not: Bu yanıtı, tarihsel tekniklerin bir açıklamasını içerecek şekilde güncelledim.

Tarihsel Teknikler

Newton geliştirdi Onun kütleçekim teorisi öncelikle güneş sistemini oluşturan cisimlerin hareketlerini açıklamak için. Ayrıca yerçekiminin Dünya'yı Güneş'in ve Ay'ın Dünya'nın yörüngesinde dönmesine neden olurken, ağaçlardan düşen elmalardan da sorumlu olduğunu fark etti. Her şey diğer her şeyi çekimsel olarak çeker. Bu, teoride bir çift küçük küre arasındaki yerçekimi çekiminin ölçülebileceğini öne sürdü. Newton bunu kendisi fark etti, ancak çok pratik olduğunu düşünmedi. Kesinlikle iki küçük küre değil (Newton 1846):

Bir ayak çapında ve dünyaya benzer nitelikte bir küre, yüzeyinin yanına yerleştirilmiş küçük bir cismi bir kuvvetle çekeceğinden Dünya yüzeyinin yakınına yerleştirildiğinde yapacağından 20000000 kat daha az; ama bu kadar küçük bir kuvvet, mantıklı bir etki yaratamaz. Bu türden iki küre uzakta ama bir inç kadar olsaydı, direnişin olmadığı alanlarda bile, karşılıklı çekim gücüyle bir aydan daha kısa sürede bir araya gelmezlerdi; ve daha az küre, çaplarının orantılı olarak daha yavaş bir hızda bir araya gelecek.

Belki bir dağ?

Hayır, bütün dağlar herhangi bir mantıklı etki yaratmak için yeterli değildir. Üç mil yüksekliğinde ve altı genişliğinde yarım küre şeklindeki bir dağ, çekiciliğiyle sarkacı gerçek dikeyden iki dakika uzağa çekmez: ve bu kuvvetlerin yalnızca gezegenlerin büyük bedenlerinde olması gerekir. algılanan, ...

Newton'un böylesine küçük ölçümlerin pratik olmayışı hakkındaki fikri yanlış olacaktır. Newton, ilerlemesine bizzat yardım ettiği bilimsel devrimin bu kadar küçük ölçümleri hızla mümkün kılacağını bilmiyordu.


Dünya'yı dağları kullanarak tartmak

"Dünyayı tartmak" için ilk girişim Pierre Bouguer, Charles Marie de La Condamine ve Louis Godin tarafından Peru'ya yapılan Fransız jeodezik görevi sırasında yapıldı. Birincil görevleri Dünya'nın şeklini belirlemekti. Newton'un öngördüğü gibi Dünya'nın ekvatoral bir çıkıntısı var mıydı? (Fransızlar, aynı sonucu elde etmek için Lapland'a farklı bir ekip göndermişti.) Bouguer, yolculuğu, Newton'un bir dağın bir şakul topunu incelenen normalden saptıracağı yönündeki önerisini test etmek için bir fırsat olarak kullandı. Konu dağı olarak Chimborazo'yu seçti. Ne yazık ki ölçümler tamamen yanlış çıktı. Şakul bob yön değiştirdi, ancak yanlış yönde. Bouguer, dağdan (Beeson, web sayfası) uzakta hafif bir sapma ölçtü.

Bir sonraki girişim Schiehallion deneyiydi. Mason-Dixon hattını incelerken, Charles Mason ve Jeremiah Dixon zaman zaman kalibrasyonlarının birbirleriyle anlaşmaya varamayacaklarını keşfettiler. Nedeni, çekül göğüslerinin ara sıra normalden sapmasıydı. Bu keşif, Nevil Maskelyne tarafından yürütülen Schiehallion deneyine yol açtı. Bouguer'den farklı olarak Maskelyne pozitif bir sonuç, 11.6 ark saniyelik sapma ve doğru yönde aldı. Gözlemlenen sapmalar, Maskelyne'in, Dünya'nın ortalama yoğunluğunun sudan 4.713 kat daha fazla olduğu sonucuna varmasına neden oldu (von Zittel 1914).

Newton'un dağ kullanma fikrinin temelde kusurlu olduğu ortaya çıktı. Diğerleri bu deneyleri diğer dağları kullanarak tekrarlamaya çalıştı. Bouguer'in yaptığı gibi birçoğu olumsuz bir sapma ölçtü. Bunun için iyi bir sebep var. Bir buzdağının sadece küçük bir bölümünü görmemizle (kütle su altında) aynı nedenle, dağın yalnızca küçük bir bölümünü görürüz. Dağın büyük kısmı Dünya'nın içindedir. İzole büyük bir dağ, bir şakul bobunun dağdan uzaklaşmasına neden olmalıdır.


Dünyayı küçük kütleler kullanarak tartmak

Dağların kullanılması kuşkuluysa, bu, yalnızca birkaç santimle ayrılmış olsa bile birbirine yaklaşması aylar sürecek küçük kütleleri kullanmanın şüpheli olması hakkında ne söylüyor? İyi bir fikir. Bu küçük kütleler kontrol edilebilir ve kütleleri yüksek derecede doğrulukla ölçülebilir. Çarpışmalarını beklemeye gerek yok. Basitçe birbirlerine uyguladıkları kuvveti ölçün.

Bu fikir Cavendish deneyinin temelini oluşturuyordu (Cavendish 1798). Cavendish iki küçük ve iki büyük kurşun küre kullandı. İki küçük küre, yatay bir tahta kolun karşılıklı uçlarından asıldı. Tahta kol ise bir tel ile askıya alındı. İki büyük küre, küçük bir küreye çok yakın büyük bir küre getirmek için çevirebileceği ayrı bir cihaza monte edildi. Bu yakın ayrılma, küçük ve büyük küreler arasında yerçekimi kuvvetine neden oldu ve bu da tahta kolu tutan telin bükülmesine neden oldu. Teldeki burulma, bu yerçekimi kuvvetini dengelemek için hareket etti. Sonunda sistem bir denge durumuna geldi. Kolun bükülmemiş durumundan açısal sapmasını gözlemleyerek torsiyonu ölçtü. Bu bükülmeyi farklı bir dizi ölçümle kalibre etti. Son olarak, bu kurşun küreleri tartarak Cavendish, Dünya'nın ortalama yoğunluğunu hesaplayabildi.

Cavendish'in evrensel yerçekimi sabitini G'yi ölçmediğine dikkat edin. Cavendish'in makalesinde bir yerçekimi sabitinden bahsedilmiyor. Cavendish'in G'yi ölçtüğü fikri biraz tarihsel revizyonizmdir. Newton'un evrensel çekim yasasının modern gösterimi, $ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} $, Cavendish'in zamanında mevcut değildi. Cavendish'in deneylerinden 75 yıl sonra Newton'un evrensel kütleçekim yasasının yerçekimi sabiti ile yeniden formüle edildiği G. Newton ve Cavendish'in zamanlarından bilim adamları, sabit bir orantılılık kullanmak yerine orantılılık açısından yazdılar.

Cavendish'in deneyinin asıl amacı Dünya'yı "tartmaktı" ve yaptığı tam olarak buydu.


Modern Teknikler

Dünya küre şeklindeyse, Ay ve Güneş'e doğru yerçekimi ivmesi gibi başka rahatsız edici etkiler yoksa ve Newton'un yerçekimi teorisi doğruysa, Dünya'nın etrafında dönen küçük bir uydunun periyodu Kepler'in üçüncü yasasıyla verilir: $ \ left (\ frac T {2 \ pi} \ sağ) ^ 2 = \ frac {a ^ 3} {GM_E} $. Burada $ T $ uydunun periyodu, $ a $ uydunun yarı büyük ekseni (yörünge yarıçapı), $ G $ evrensel yerçekimi sabiti ve $ M_E $ Dünya'nın kütlesidir.

Buradan, $ G M_E $ ürünü için eğer $ T $ periyodu ve $ a $ yörünge yarıçapı biliniyorsa kolayca çözülebilir: $ G M_E = \ left (\ frac {2 \ pi} T \ right) ^ 2 bir ^ 3 $. Dünyanın kütlesini hesaplamak için tek yapmanız gereken G $ 'a bölmek. Yine de bir yakalama var. Ürün $ G ise M_E $ yüksek derecede doğrulukla biliniyorsa (ve öyledir), $ G $ ile bölmek çok fazla doğruluk kaybına neden olur çünkü $ G $ yerçekimi sabiti yalnızca dört ondalık doğruluk basamağıyla bilinir. Bu $ G $ bilgi eksikliği, doğası gereği, Dünya kütlesinin herhangi bir kesin ölçümünü rahatsız eder.

Bu hesaplamaya birçok uyarıda bulunuyorum:

  • Dünya isn Küresel değil. Dünya daha iyi bir basık sfero olarak modellenmiştir. Bu ekvatoral çıkıntı, uyduların yörüngelerini bozar (basık küresel modelden sapmalar gibi).
  • Dünya, evrende yalnız değil. Ay ve Güneş'ten (ve diğer gezegenlerden) kaynaklanan çekim, uyduların yörüngelerini bozar. Güneş'ten ve Dünya'dan gelen radyasyon da öyle.
  • Newton'un yerçekimi teorisi yalnızca yaklaşık olarak doğrudur. Einstein'ın genel görelilik teorisi daha iyi bir model sağlar. Newton ve Einstein'ın teorileri arasındaki sapmalar, uzun bir süre boyunca yapılan hassas ölçümlerle gözlemlenebilir hale geliyor.

Bu karışıklıkların hesaba katılması gerekiyor, ancak temel fikir hala geçerli: Bir uyduyu uzun bir süre boyunca hassas bir şekilde gözlemleyerek "Dünya tartılabilir". İhtiyaç duyulan şey, özellikle bu amaca uygun bir uydudur. İşte:

!LAGEOS

Bu LAGEOS-1, 1976'da piyasaya sürüldü. Özdeş bir ikiz, LAGEOS-2, 1992'de konuşlandırıldı. Bunlar son derece basit uydular. Sensörleri yok, efektörleri yok, iletişim ekipmanı yok, elektronikleri yok. Tamamen pasif uydulardır. Bunlar sadece 60 cm çapında, retroreflektörlerle kaplı pirinç toplardır.

Uydudan ölçüm yaptırmak yerine, yerdeki insanlar lazerleri uydulara nişan alıyor. Uyduların retroreflektörlerle kaplı olması, bir uyduya çarpan lazer ışığının bir kısmının kaynağa geri yansıtılacağı anlamına gelir. Yansıtılan ışığın yayılması ve alınması arasındaki gecikmenin tam olarak zamanlanması, uyduya olan mesafenin kesin bir ölçüsünü verir. İletilen sinyal ile dönüş sinyali arasındaki frekans değişimini hassas bir şekilde ölçmek, mesafenin değiştiği hızın kesin bir ölçüsünü verir.

Bu ölçümleri zaman içinde biriktirerek, bilim adamları bu uydu yörüngelerini çok hassas bir şekilde belirleyebilirler. ve bundan "Dünyayı tartabilirler". $ G M_E $ ürününün mevcut tahmini $ G M_E = 398600.4418 \ pm 0.0009 \ \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $ şeklindedir. (NIMA 2000). Bu küçük hata, bunun 8.6 ondalık basamağa kadar doğru olduğu anlamına gelir. Dünyanın kütlesindeki hatanın neredeyse tamamı $ G $ cinsinden belirsizlikten kaynaklanacak.

Referanslar

M. Beeson, "Bouguer Dünya'yı tartamıyor" (web sayfası)

H. Cavendish, "Dünyanın Yoğunluğunu belirlemeye yönelik deneyler," Phil. Trans. R. Soc. Londra, 88 (1798) 469-526

I. Newton (A. Motte tarafından çevrildi), Principia, The System of the World (1846)

NIMA Teknik Raporu TR8350.2, "Savunma Bakanlığı Dünya Jeodezi Sistemi 1984, Tanımı ve Yerel Jeodezik Sistemlerle İlişkileri", Üçüncü Baskı, Ocak 2000

K. von Zittel (M. Ogilvie-Gordon tarafından çevrildi), "Ondokuzuncu Yüzyılın Sonuna Kadar Jeoloji ve Paleontoloji Tarihi" (1914)

İyi cevap. Modern yöntemin uyduları kullanacağını biliyordum, ancak ayrıntıları bilmiyordum.
#3
+15
hugovdberg
2014-04-16 10:35:36 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Dünya'nın kütlesi sözde Cavendish deneyi ile belirlenebilir. Henry Cavendish, yerçekimi kuvvetinin tam denkleminde görünen yerçekimi sabitini G belirlemek için bir aygıt kullandı:

$$ F = {Gm_1m_2 \ over R ^ 2} $$

$ m_1 $ ve $ m_2 $ iki nesnenin kütleleridir, $ R $ nesnelerin ağırlık merkezleri arasındaki mesafe ve $ G $ yerçekimi sabiti (yaklaşık 6,674 $ \ times 10 ^ {- 11} \ mathrm {N ~ m ^ 2 ~ kg ^ {- 2}} $).

Yerçekimi sabitinin yanı sıra dünyanın çapı da bilindiği için, kütlesi bilinen bir nesnenin üzerindeki çekim kuvvetinin belirlenmesi bize o kuvveti uygulayan nesnenin (yani Dünya'nın) kütlesini verir.

#4
+12
winwaed
2014-04-16 19:55:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Cavendish daha doğrudan bir yaklaşım kullanmış olabilir, ancak Neville Maskelyn bunu daha önce Schiehallion Deneyi 'de yaptı - 1778'de yayınladı. Cook'un Transit'i gözlemleme gezisinden kalan parayı içeren bir Aydınlanma hikayesi Venüs'ün; Mason & Dixon; ve hatta Benjamin Franklin bile erken planlamaya dahil oldu.

Schiehallion simetrik ve İskoçya'da nispeten izole bir dağ. Şekli ölçerek (ve süreçte kontur çizgilerini icat ederek!) Hacmi hesaplamak mümkündür. Kaya örneklemesinden sonra dağın kütlesini hesaplayabilirsiniz. Sarkaç sapmasına bakarak, Dünya'nın kütlesinin Schiehallion'un kütlesine oranını hesaplayabilirsiniz.

Modern bir Dijital Arazi Modeli ve jeolojik modeller kullanan Maskelyn'in sarkaç ölçümleri, akıntıyla uyumlu bir sonuç verir. G'nin kabul edilen değeri (veya M - aynı madalyonun iki yüzü).

Bir kenara, yaklaşık 18 ay önce dağa tırmandım. Hava açıksa, yaklaşan dağlar olmadığından (bu da ölçümleri olumsuz etkileyeceğinden) harika manzaralar elde edersiniz.

#5
+10
Neo
2014-04-16 10:37:39 UTC
view on stackexchange narkive permalink

En kolay yol, bir uydudan bir gravimetre kullanmak ve Newton'un yüzyıllar önce bulduğu ünlü ters kare yasası denklemini çözmektir.

Başka bir yol, bu da değerli bir egzersiz olabilir ( bunu bir Katı-Dünya Jeofizik Sınıfında yapmak) 4 katmanlı bir toprak (kabuk, manto, dış çekirdek, iç çekirdek) varsaymaktır. Sismik verileri yalnızca her katmanın derinliğini (S / P yansımaları yoluyla) değil, aynı zamanda sismik hızlar yoluyla her katmanın yoğunluklarını elde etmek için kullanın. Her "kabuk" için homojen yoğunluklar varsayabilir ve dünyanın çevresini (ve dolayısıyla çapı) kullanarak kütleyi bulabilirsiniz.

İki cisim (Dünya ve ay / Dünya ve Güneş) arasındaki mesafeyi biliyorsanız, bunu gezegensel hareketin kepler / Newton yasalarını kullanarak da çözebilirsiniz.

IE, var Newton'un yerçekimi yasasının bize Dünya'nın kütlesi için çok iyi bir yaklaşım verdiği birçok yol.

* En kolay yol, bir uydudan bir gravimetre kullanmaktır *. "Kolay" kelimesi hakkında alışılmadık bir fikriniz var.
Bu uyduyu yörüngeye yerleştirmenin ve hatta gravimetreyi inşa etmenin çok zor olduğunu düşünüyorum, ancak bu gravimetreyi (önceden toplanan veriler) kullanmak bir URL uzakta. http://topex.ucsd.edu/WWW_html/bkgrd.html
Bu hiç işe yaramayacak! Gravimetreler yerçekimini ölçmez. Gravimetrenin Dünya'ya batmasını engelleyen yerin uyguladığı yukarı doğru normal kuvveti ölçer. Yerçekimi sabit olduğundan, yukarı doğru kuvvetin ölçümü yerçekimi için bir destek görevi görür. Bir uydu serbest düşüşte. Bir uydudaki bir gravimetre * sıfır * (veya düşük Dünya yörüngesindeyse sıfıra yakın) ölçecektir. Bir uydu üzerindeki bir çift gravimetre yerçekimi gradyanını ölçebilir; GOCE uydusunun temeli budur (böyle üç çifti vardı). Ancak bunun Dünya yerçekimi için temel bir modele ihtiyacı var.


Bu Soru-Cevap, otomatik olarak İngilizce dilinden çevrilmiştir.Orijinal içerik, dağıtıldığı cc by-sa 3.0 lisansı için teşekkür ettiğimiz stackexchange'ta mevcuttur.
Loading...